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`!Ext`! ist ein `F33f`_`[Bifunktor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bifunktor]`_`f, der in der `F33f`_`[homologischen Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Homologische_Algebra]`_`f eine zentrale Rolle spielt.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Funktorialität`#funktorialit-t]`_`f

• `F0af`_`[Ext als Ableitung des Hom-Funktors`#ext-als-ableitung-des-hom-funktors]`_`f

• `F0af`_`[Zusammenhang zwischen Ext und Ext 1`#zusammenhang-zwischen-ext-und-ext-1]`_`f

• `F0af`_`[Lange exakte Sequenz`#lange-exakte-sequenz]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Definition

Sei A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} eine `F33f`_`[abelsche Kategorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abelsche_Kategorie]`_`f, zum Beispiel die Kategorie der `F33f`_`[Moduln`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modul_(Mathematik)]`_`f eines `F33f`_`[Ringes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ring_(Algebra)]`_`f, die nach dem `F33f`_`[Einbettungssatz von Mitchell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einbettungssatz_von_Mitchell]`_`f das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten X {\\displaystyle X} und Z {\\displaystyle Z} aus A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} sei E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} die Klasse der kurzen `F33f`_`[exakten Sequenzen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Exakte_Sequenz]`_`f der Form

0 → → X → → Y → → Z → → 0. {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0.}

Auf E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} wird nun eine `F33f`_`[Äquivalenzrelation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Äquivalenzrelation]`_`f definiert. Zwei exakte Sequenzen 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0} und 0 → → X → → Y ′ → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y'\\rightarrow Z\\rightarrow 0} sind äquivalent, wenn es einen `F33f`_`[Morphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Morphismus]`_`f g : : Y → → Y ′ {\\displaystyle g\\colon Y\\to Y'} gibt, so dass das Diagramm

0 → → X → → Y → → Z → → 0 ↓ ↓ id ↓ ↓ g ↓ ↓ id 0 → → X → → Y ′ → → Z → → 0 {\\displaystyle {\\begin{matrix}0&\\to &X&\\to &Y&\\to &Z&\\to &0\\\\&&\\downarrow \\operatorname {id} &&\\downarrow g&&\\downarrow \\operatorname {id} \\\\0&\\to &X&\\to &Y'&\\to &Z&\\to &0\\end{matrix}}}

kommutiert. Dabei ist id {\\displaystyle \\operatorname {id} } der `F33f`_`[identische`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Identische_Abbildung]`_`f Morphismus.

Aus dem `F33f`_`[Fünferlemma`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fünferlemma]`_`f folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus g {\\displaystyle g} gibt, dieser ein `F33f`_`[Isomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Isomorphismus]`_`f sein muss. Die Klasse E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit E x t ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X)} bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

>>Funktorialität

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass E x t {\\displaystyle \\mathrm {Ext} } zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu g : : X → → X ′ {\\displaystyle g\\colon X\\to X'} und der Sequenz 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0} kann man den `F33f`_`[Push-out`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Pushout]`_`f bilden:

0 → → X → → Y → → Z → → 0 ↓ ↓ g ↓ ↓ 0 → → X ′ → → Y ′ {\\displaystyle {\\begin{matrix}0&\\to &X&\\to &Y&\\to &Z&\\to &0\\\\&&\\downarrow g&&\\downarrow &&\\\\0&\\to &X'&\\to &Y'\\end{matrix}}}

Wegen der `F33f`_`[universellen Eigenschaft`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Universelle_Eigenschaft]`_`f des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

0 → → X → → Y → → Z → → 0 ↓ ↓ g ↓ ↓ ↓ ↓ id 0 → → X ′ → → Y ′ → → Z → → 0 {\\displaystyle {\\begin{matrix}0&\\to &X&\\to &Y&\\to &Z&\\to &0\\\\&&\\downarrow g&&\\downarrow &&\\downarrow \\operatorname {id} \\\\0&\\to &X'&\\to &Y'&\\to &Z&\\to &0\\end{matrix}}}

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in E x t ( Z , X ′ ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X')} .

Bildet man die Äquivalenzklasse von 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0} auf die Äquivalenzklasse von 0 → → X ′ → → Y ′ → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X'\\rightarrow Y'\\rightarrow Z\\rightarrow 0} ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus E x t ( Z , X ) → → E x t ( Z , X ′ ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X)\\rightarrow \\mathrm {Ext} (Z,X')} .

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu g : : Z ′ → → Z {\\displaystyle g\\colon Z'\\to Z} und der Sequenz 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0} kann man folgenden `F33f`_`[Pull-back`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Faserprodukt]`_`f bilden:

Y ′ → → Z ′ → → 0 ↓ ↓ ↓ ↓ g 0 → → X → → Y → → Z → → 0 . {\\displaystyle {\\begin{matrix}&&&&Y'&\\to &Z'&\\to &0\\\\&&&&\\downarrow &&\\downarrow g\\\\0&\\to &X&\\to &Y&\\to &Z&\\to &0\\end{matrix}}.}

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

0 → → X → → Y ′ → → Z ′ → → 0 ↓ ↓ id ↓ ↓ ↓ ↓ g 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle {\\begin{matrix}0&\\to &X&\\to &Y'&\\to &Z'&\\to &0\\\\&&\\downarrow \\operatorname {id} &&\\downarrow &&\\downarrow g\\\\0&\\to &X&\\to &Y&\\to &Z&\\to &0\\end{matrix}}}

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in E x t ( Z ′ , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z',X)} .

Bildet man die Äquivalenzklasse von 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0} auf die Äquivalenzklasse von 0 → → X → → Y ′ → → Z ′ → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y'\\rightarrow Z'\\rightarrow 0} ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus E x t ( Z , X ) → → E x t ( Z ′ , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X)\\rightarrow \\mathrm {Ext} (Z',X)} .

>>Ext als Ableitung des Hom-Funktors

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die `F33f`_`[abgeleiteten Funktoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abgeleiteter_Funktor]`_`f von `F33f`_`[Hom`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hom-Funktor]`_`f. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor H o m ( − − , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Hom} (-,X)} und definiert

E x t n ( Z , X ) := R n H o m ( − − , X ) ( Z ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X):=R_{n}\\mathrm {Hom} (-,X)(Z)} ,

das heißt man bildet die n {\\displaystyle n} -te Rechtsableitung von H o m ( − − , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Hom} (-,X)} und wendet den so entstandenen Funktor auf Z {\\displaystyle Z} an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei n ≥ ≥ 1 {\\displaystyle n\\geq 1} und

… … → → P n → → P n − − 1 → → … … → → Z → → 0 λ λ n ↓ ↓ ↗ ↗ κ κ n K n {\\displaystyle {\\begin{array}{ccccc}\\ldots \\rightarrow &P_{n}&\\rightarrow &P_{n-1}&\\rightarrow \\ldots \\rightarrow Z\\rightarrow 0\\\\&\\lambda _{n}\\downarrow &\\nearrow \\kappa _{n}\\\\&K_{n}\\end{array}}}

eine `F33f`_`[projektive Auflösung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Projektive_Auflösung]`_`f von Z {\\displaystyle Z} mit einem `F33f`_`[Epimorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Epimorphismus]`_`f λ λ n : P n → → K n {\\displaystyle \\lambda _{n}:P_{n}\\rightarrow K_{n}} und einem `F33f`_`[Monomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Monomorphismus]`_`f κ κ n : K n → → P n − − 1 {\\displaystyle \\kappa _{n}:K_{n}\\rightarrow P_{n-1}} , so dass ( P n → → P n − − 1 ) = κ κ n ∘ ∘ λ λ n {\\displaystyle (P_{n}\\rightarrow P_{n-1})=\\kappa _{n}\\circ \\lambda _{n}} . Weiter sei κ κ n ∗ ∗ = H o m ( κ κ n , X ) {\\displaystyle \\kappa _{n}^{*}=\\mathrm {Hom} (\\kappa _{n},X)} der induzierte Homomorphismus

κ κ n ∗ ∗ : H o m ( P n − − 1 , X ) → → H o m ( K n , X ) , f ↦ ↦ f ∘ ∘ κ κ n {\\displaystyle \\kappa _{n}^{*}:\\mathrm {Hom} (P_{n-1},X)\\rightarrow \\mathrm {Hom} (K_{n},X),\\,f\\mapsto f\\circ \\kappa _{n}} .

Dann ist

E x t n ( Z , X ) ≅ ≅ c o k e r ( κ κ n ∗ ∗ ) = H o m ( K n , X ) / κ κ n ∗ ∗ ( H o m ( P n − − 1 , X ) ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\\cong \\mathrm {coker} (\\kappa _{n}^{*})=\\mathrm {Hom} (K_{n},X)/\\kappa _{n}^{*}(\\mathrm {Hom} (P_{n-1},X))} .

Die Elemente aus E x t n ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)} sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus H o m ( K n , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Hom} (K_{n},X)} .`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von X {\\displaystyle X} und Z {\\displaystyle Z} auch vertauschen kann, man erhält

E x t n ( Z , X ) ≅ ≅ R n H o m ( Z , − − ) ( X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\\cong R_{n}\\mathrm {Hom} (Z,-)(X)} .

>>Zusammenhang zwischen Ext und Ext 1

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte E x t {\\displaystyle \\mathrm {Ext} } und E x t 1 {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{1}} zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung E x t ( Z , X ) → → E x t 1 ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} .

Sei 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0} eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus E x t ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X)} definiert. Weiter sei 0 → → K → → P → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow K\\rightarrow P\\rightarrow Z\\rightarrow 0} eine kurze exakte Sequenz mit projektivem P {\\displaystyle P} . Mittels der `F33f`_`[Projektivität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Projektivität]`_`f von P {\\displaystyle P} kann man ein kommutatives Diagramm

0 → → K → → P → → Z → → 0 ↓ ↓ ψ ψ ↓ ↓ φ φ ‖ ‖ 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle {\\begin{array}{ccccccc}0\\rightarrow &K&\\rightarrow &P&\\rightarrow &Z&\\rightarrow 0\\\\&\\downarrow \\psi &&\\downarrow \\varphi &&\\Vert \\\\0\\rightarrow &X&\\rightarrow &Y&\\rightarrow &Z&\\rightarrow 0\\end{array}}}

konstruieren. Dann ist ψ ψ ∈ ∈ H o m ( K , X ) {\\displaystyle \\psi \\in \\mathrm {Hom} (K,X)} ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von E x t n ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)} ein Element aus E x t 1 ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von 0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0} in E x t ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X)} auf die Äquivalenzklasse von ψ ψ {\\displaystyle \\psi } in E x t 1 ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung E x t ( Z , X ) → → E x t 1 ( Z , X ) {\\displaystyle \\mathrm {Ext} (Z,X)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} , von der man zeigen kann, dass es sich um einen `F33f`_`[Gruppenisomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gruppenisomorphismus]`_`f handelt.`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]

Daher kann man E x t {\\displaystyle \\mathrm {Ext} } mit E x t 1 {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{1}} identifizieren, das heißt E x t {\\displaystyle \\mathrm {Ext} } kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des H o m {\\displaystyle \\mathrm {Hom} } -Funktors definiert werden.

>>Lange exakte Sequenz

Der Hom-Funktor ist `F33f`_`[linksexakt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linksexakt]`_`f, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

0 → → X → → Y → → Z → → 0 {\\displaystyle 0\\rightarrow X\\rightarrow Y\\rightarrow Z\\rightarrow 0}

und ein weiteres Objekt (Modul) A {\\displaystyle A} hat man eine exakte Sequenz

0 → → H o m ( A , X ) → → H o m ( A , Y ) → → H o m ( A , Z ) {\\displaystyle 0\\rightarrow \\mathrm {Hom} (A,X)\\rightarrow \\mathrm {Hom} (A,Y)\\rightarrow \\mathrm {Hom} (A,Z)} ,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von E x t n {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{n}} auf n = 0 {\\displaystyle n=0} ausdehnt, so hat man E x t 0 = H o m {\\displaystyle \\mathrm {Ext} ^{0}=\\mathrm {Hom} } . Die lange exakte Sequenz für abgeleitete `F33f`_`[additive Funktoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Additiver_Funktor]`_`f liefert daher die folgende exakte Sequenz

0 → → H o m ( A , X ) → → H o m ( A , Y ) → → H o m ( A , Z ) {\\displaystyle 0\\rightarrow \\mathrm {Hom} (A,X)\\rightarrow \\mathrm {Hom} (A,Y)\\rightarrow \\mathrm {Hom} (A,Z)} → → E x t 1 ( A , X ) → → E x t 1 ( A , Y ) → → E x t 1 ( A , Z ) → → E x t 2 ( A , X ) → → … … {\\displaystyle \\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(A,X)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(A,Y)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(A,Z)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{2}(A,X)\\rightarrow \\ldots } .

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

0 → → H o m ( Z , A ) → → H o m ( Y , A ) → → H o m ( X , A ) {\\displaystyle 0\\rightarrow \\mathrm {Hom} (Z,A)\\rightarrow \\mathrm {Hom} (Y,A)\\rightarrow \\mathrm {Hom} (X,A)} → → E x t 1 ( Z , A ) → → E x t 1 ( Y , A ) → → E x t 1 ( X , A ) → → E x t 2 ( Z , A ) → → … … {\\displaystyle \\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(Z,A)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(Y,A)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{1}(X,A)\\rightarrow \\mathrm {Ext} ^{2}(Z,A)\\rightarrow \\ldots } .

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: `*Homological Algebra`*, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Charles A. Weibel: `*An introduction to homological algebra`*, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Peter Hilton: `*Lectures in Homological Algebra`*, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f Peter Hilton: `*Lectures in Homological Algebra`*, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f `F33f`_`[Saunders Mac Lane`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Saunders_Mac_Lane]`_`f: `*Homology`*, Springer `F33f`_`[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Grundlehren_der_mathematischen_Wissenschaften]`_`f Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1

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